Куля

Куля в аналітичній геометрії

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leqslant R^{2}}$ — рівняння кулі з центром в точці з координатами ${\displaystyle (a,b,c)}$ та радіусом ${\displaystyle R}$.

Взагалі, рівняння кулі у n-вимірному просторі виглядає як

${\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})\leqslant R^{2}}$, де ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо ${\displaystyle n\geqslant 4}$, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом ${\displaystyle R}$, можна підрахувати за формулою

${\displaystyle S=4\pi R^{2}\,\!}$, що приблизно дорівнює ${\displaystyle 12,6R^{2}\,\!}$.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.

Об'єм кулі можна знайти за формулою

${\displaystyle V={\frac {4\pi R^{3}}{3}}\approx 4,2R^{3}\,\!}$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}}$, де ${\displaystyle R}$ — радіус кулі, ${\displaystyle l}$ — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.